Question

16．设命题p：lna＜0；命题q：函数$y=\sqrt{a{x^2}-x+a}$的定义域为R．
（1）若p且q是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别判断出p，q为真时的a的范围，再判断出（1）p且q是真命题，（2）p或q是真命题，p且q是假命题的a的范围即可．

解答 解：可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P={a|0＜a＜1}，
对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax²-x+a≥0恒成立．
当a=0时，不等式为-x≥0，解得x≤0，显然不成立；
当a≠0时，不等式恒成立的条件是
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{2}$．
所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q={a|a≥$\frac{1}{2}$}．                      
（1）若p∧q是真命题，则p真q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$即a的取值范围是$\frac{1}{2}≤a＜1$．
（2）由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，a的取值范围是P∩（∁_RQ）={a|0＜a＜1}∩{a|a＜$\frac{1}{2}$}={a|0＜a＜$\frac{1}{2}$}；
当p假q真时，a的取值范围是（∁_RP）∩Q={a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥$\frac{1}{2}$}={a|a≥1}．
综上，a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道中档题．