Question

15．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：
（1）CD⊥面GEF；
（2）AG=1；
（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；
（4）∠EAD=60°．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．

解答 解：连结EG，
（1）∵EF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF⊥AB，
∵FG∥BC，BC⊥AB，
∴AB⊥FG，
又EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F，
∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，
∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．
（2）∵AB⊥平面EFG，
∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=1，故（2）正确．
（3））∵AG=1=$\frac{1}{2}AB$，∴F为AC的中点．
∵AE=2，AC=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，AF=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}AC•EF$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S_△ACE=4，故（3）错误；
（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，
由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，
∴Rt△EAG≌Rt△EAM，
∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．
故选：C

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，属于中档题．