Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+lnx，
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx的值；
（2）若函数f（x）在（

1

e

，e）内有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1）都成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的几何意义和直线垂直的条件，得k=f′（1）=2求出a的值，化简

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx后利用定积分得几何意义求值；
（2）利用导数求出函数f（x）在（

1

e

，e）上的极值和最值，根据f（x）在（

1

e

，e）内有两个零点，列出不等式组求出a的范围；
（3）根据结论利用分析法构造函数g（x）=2lnx+x²-1，再求出g′（x），判断出函数g（x）的单调性和范围，根据不等式的结构令x=

n+1

n

代入g（x），并建立不等式，再由对数的运算和累加法得到结论．

解答： 解：（1）由题意得，f′（x）=ax+

1

x

，且x＞0，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，
∴f′（1）=a+1=2，解得a=1，则f（x）=

1

2

x²+lnx，
∴

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx=

∫

2 1

1 2 - (x-1)2 2

dx
=

2

2

∫

2 1

1-(x-1)2

dx

∫

2 1

1-(x-1)2

dx的几何意义表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
∴

2

2

∫

2 1

1-(x-1)2

dx=

2

2

×

1

4

×π=

2 π

8

，
故

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

=

2 π

8

；
（2）f′（x）=ax+

1

x

=

ax2+1

x

，
当a≥0时，

ax2+1

x

＞0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
函数f（x）在（

1

e

，e）内有两个零点不成立；
当a＜0时，由f′（x）=0得，x=±

- 1 a

，x=-

- 1 a

＜0舍去，
∴当x∈(0，

- 1 a

)时，f′（x）＞0，则函数f（x）在区间(0，

- 1 a

)上递增，
当x∈(

- 1 a

，+∞)时，f′（x）＜0，则函数f（x）在区间(

- 1 a

，+∞)上递减，
当x=

- 1 a

时，函数f（x）取到极大值，也是最大值f（

- 1 a

）=-

1

2

+ln

- 1 a

，
∵函数f（x）在（

1

e

，e）内有两个零点，
∴

1 e ＜ - 1 a ＜e - 1 2 +ln - 1 a ＞0 f( 1 e )＜0 f(e)＜0 a＜0

，解得

-e2＜a＜- 1 e2 a＜- 2 e2 a＜2e2 a＞- 1 e

，即-

1

e

＜a＜-

2

e2

，
则实数a的取值范围是：（-

1

e

，-

2

e2

）；
（3）设g（x）=2lnx+x²-1（x＞0），∴g′(x)=

2

x

+2x＞0，
则g（x）=2lnx+x²-1在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）=2lnx+x²-1在（1，+∞）上是增函数，则g（x）＞g（1）=0，
令x=

n+1

n

＞1（n为正整数），代入g（x）=2lnx+x²-1得，
g(

n+1

n

)=2ln

n+1

n

+(

n+1

n

)2-1＞0，
∴(

n+1

n

)2＞1-2ln

n+1

n

=1-2[ln（n+1）-lnn]
分别取n=1，2，3，…，n得：
4＞1-2（ln2-ln1），

9

4

＞1-2（ln3-ln2），

16

9

＞1-2（ln4-ln3），
…，(

n+1

n

)2＞1-2[ln（n+1）-lnn]，
以上n个式子相加得：4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1），
综上可得，对任意的正整数n，不等式4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1）都成立．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分的几何意义，累加法求和，以及利用导数研究函数的性质，同时考查函数构造法证明不等式成立，需要用分析法寻找思路从而构造出恰当的函数，注意当被积函数函数无法利用积分公式时，要利用积分的几何意义求解，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性强，难度很大．