Question

6．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分别是AB、BB₁、AC₁的中点，AB=BB₁=2．
（1）在棱B₁C₁上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置，并求直线DE到平面AB₁C₁的距离；如果不存在，请说明理由；
（2）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）棱B₁C₁上F，且F为B₁C₁的中点，连接AB₁，则DE∥AB₁∥GF．DE到平面AB₁C₁的距离是点B到直线AB₁距离的一半，由此能示出结果．
（2）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，则DM为截面与底面所成二面角的棱，取BC的中点N，连FN，则FN∥BB₁．作EH⊥DM于H，连BH，由三垂线定理可知∠EHB为截面与底面所成的锐二面角．由此能求出结果．

解答 解：（1）棱B₁C₁上F，且F为B₁C₁的中点，使GF∥DE．
连接AB₁，
∵D、E、G分别是AB₁、BB₁、AC₁的中点，
∴DE∥AB₁∥GF．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
D是AB的中点，E是BB₁的中点，∴DE∥AB₁，
∵AB=BB₁=2，
∴DE到平面AB₁C₁的距离是点B到直线AB₁距离的一半，
∴DE到平面AB₁C₁的距离d=$\frac{1}{2}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，
则DM为截面与底面所成二面角的棱，
取BC的中点N，连FN，则FN∥BB₁．
∵EB∥FN，EB=$\frac{1}{2}$FN，∴B为MN的中点．
由题设得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，则∠BDM=∠BMD=30°，连BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂线定理可知BH⊥DM，
∴∠EHB为截面与底面所成的锐二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EHB=$\frac{BE}{EH}$=2．

点评 本题考查线面垂直的点的位置的确定，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．