Question

14．已知函数f（x）=x-2lnx-$\frac{a}{x}$+1，g（x）=e^x（2lnx-x）+b．
（1）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）若g（x）=0有解，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=1-$\frac{2}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}$，从而可得a≥2x-x²恒成立（x＞0）；从而解得．
（2）令h（x）=e^x（2lnx-x），h′（x）=e^x（$\frac{2}{x}$-1+2lnx-x），结合（1）知，当a=2时，f（x）=x-2lnx-$\frac{2}{x}$+1，从而可得h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，从而求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得x＞0，f′（x）=1-$\frac{2}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由函数f（x）在定义域上是增函数得，
f′（x）≥0，即a≥2x-x²=-（x-1）²+1（x＞0）；
因为-（x-1）²+1≤1（当x=1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，+∞）．
（2）令h（x）=e^x（2lnx-x），h′（x）=e^x（$\frac{2}{x}$-1+2lnx-x），
由（1）得a=2时，f（x）=x-2lnx-$\frac{2}{x}$+1，
且f（x）在定义域上是增函数及f（1）=0，
所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．
所以，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故x=1时，h（x）取得最大值h（1）=-e．
∵g（x）=0有解，∴b≥e．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题．