Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求使T_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过2a_n=S_n+2与2a_n+1=S_n+1+2作差可知a_n+1=2a_n，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=-n+2ⁿ，利用等差数列、等比数列的求和公式可知T_n=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n，进而解不等式即得结论．

解答 （1）证明：依题意，2a_n=S_n+2，
∴2a_n+1-2a_n=S_n+1+2-（S_n+2）=a_n+1，
即a_n+1=2a_n，
又∵2a₁=a₁+2，即a₁=2，
∴数列{a_n}是以首项、公比均为2的等比数列；
（2）解：由（1）可知b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ+$lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}$=-n+2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=-（1+2+3+…+n）+（2¹+2²+…+2ⁿ）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n，
∴${{T}_n}-{2^{n+1}}+47={2^{n+1}}-2-\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n-{2^{n+1}}+47=-\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+45＜0$，
解得：n＜-10（舍去）或n＞9，
∴使${{T}_n}-{2^{n+1}}+47＜0$成立的正整数n的最小值是10．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．