Question

设m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为19．则f（x）展开式中x²的系数的最大、小值分别为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最值．

解答： 解：f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为m+n=19，
展开式中x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

（m²+n²-m-n）=

1

2

[m²-m+（19-m）²-（19-m）]
=

1

2

（2m²-38m+19×18）=m²-19m+171=(m-

19

2

)2+

19×17

4

．
由题意可得，1≤m≤18．
∵m，n∈N^*，∴当m=9或10时，即m=10，n=9； 或m=9，n=10时，x²项的系数取得最小值，最小值为81．
当m=1或18时，即 m=1，n=18； 或m=18，n=1时，x²项的系数取得最大值，最大值为153，
故答案为：153，81．

点评：本题考查二项式定理的应用，本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．解题时要认真审题，仔细解答．