Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+1

是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数f（0）=0，即可求函数f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，利用作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，根据单调性的定义可作出判断．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+1

是奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f（x）=

x

x2+1

；
（2）f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，证明如下：
任取x₁，x₂，且1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（1，+∞）上是单调减函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．