题目内容

已知向量=（-2，sinθ）与=（cosθ，1）互相垂直，其中θ∈（，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=，＜φ＜π，求cosφ的值．
【答案】分析：（1）根据向量垂直的充要条件，得向量、的数量积为零，可得θ的一个关系式，再结合正余弦的平方和为1，可得sinθ和cosθ的值；
（2）先求出角θ-φ的正余弦的值，再用配角：φ=θ-（θ-φ））=利用两角和与差的三角函数公式，可以求出cosφ的值．
解答：解：（1）∵与互相垂直，
则，即sinθ=2cosθ，
代入sin2θ+cos2θ=1得，，
又∵θ，∴．
（2）∵φ＜π，∴＜θ-φ＜，
由sin（θ-φ）=，结合同角三角函数关系得
∴cosφ=cos（θ-（θ-φ））=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=．
点评：本题考查了和与差三角函数公式、同角三角函数的关系以及向量的数量积的计算，属于中档题．解题时应注意配角的技巧和求三角函数时角的范围问题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知向量
p
=
a
+t
b
，
q
=
c
+s
d
（s、t是任意实数），其中
a
=（1，2），
b
=（3，0），
c
=（1，-1），
d
=（3，2），求向量
p
，
q
交点的坐标；
（2）已知
a
=（x+1，0），
b
=（0，x-y），
c
=（2，1），求满足等式x
a
+
b
=
c
的实数x、y的值．
已知向量
.
m
=（cosωx，sinωx），
.
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx），ω＞0，函数f（x）=
.
m
•
.
n
+|
.
m
|，且函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
2

（1）作出函数y=f（x）-1在[0，π]上的图象
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，c=2，S△ABC=
3
2
，求a的值．
已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
与
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
（2012•宝鸡模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，
m
=(a，-c)，
n
=(cosA，cosB)，
p
=(a，b)，
q
=(cos(B+C)，cosC)，
m
•
n
=
p
•
q
，a=
13
，c=4．
（1）求cosA的值；
（2）求△ABC的面积S．
已知向量
m
=(coswx，sinwx)，
n
=(coswx，
3
coswx)，其中0＜w＜2，函数f(x)=
m
n
-
1
2
，直线x=
π
6
为其图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式及其单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(
A
2
)=1，b=2，S△ABC=2
3
，求a值．

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