Question

已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知，b=1，由此能求出椭圆的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），，消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由韦达定理结合题设条件进行求解．
解答：解：（I）由题意知，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为 =1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）
消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得
则

=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=
=
要使上式为定值须 ，解得∴为定值
当直线l的斜率不存在时 由 可得

∴
综上所述当 时， 为定值 ．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，有效地挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．