Question

17．已知四边形ABCD是圆O的内接四边形
（1）若AB=2，BC=6，AD=CD=4，求边形ABCD的面积；
（2）若圆O的半径为R=2，角B=60°，求四边形ABCD的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由于A+C=180°则cosA=-cosC，在△BCD中和在△ABD中，分别利用余弦定理列出方程，联立后求得BD、角C、A，利用三角形的公式求出四边形ABCD的面积；
（2）由正弦定理求出AC，在△ABC中和在△ADC中，分别利用余弦定理列出方程，化简后利用基本不等式分别求出AB+BC、AD+DC范围，即可四边形ABCD的周长的最大值．

解答 解：（1）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=-cosC，
由题设及余弦定理得：
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC，…①
在△ABD中，BD²=AB²+DA²-2AB•DAcosA=5+4cosC，…②
由①-②得，cosC=$\frac{1}{2}$，所以C=60°，则A=120°，
所以边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}AB•ADsinA+\frac{1}{2}BC•CDsinC$
=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$；
（2）∵R=2，B=60°，
∴在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=2R$，则AC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中由余弦定理得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB，
则AB²+BC²-AB•BC=12，即（AB+BC）²-12=3AB•BC，
∵AB+BC≥$2\sqrt{AB•BC}$，∴AB•BC≤$\frac{（AB+BC）^{2}}{4}$，
代入上式得，（AB+BC）²-12≤$\frac{{3（AB+BC）}^{2}}{4}$，
解得AB+BC≤4$\sqrt{3}$，（当且仅当AB=BC取等号）
由于B+D=180°，则D=120°，
在△ADC中由余弦定理得，AC²=AD²+DC²-2AD•DCcosD，
则AD²+DC²+AD•DC=12，即（AD+DC）²-12=AD•DC，
∵AD+DC≥$2\sqrt{AD•DC}$，∴AD•DC≤$\frac{{（AD+DC）}^{2}}{4}$，
代入上式得，（AD+DC）²-12≤$\frac{{（AD+DC）}^{2}}{4}$，
解得AD+DC≤4，（当且仅当AD=DC取等号）
∴四边形ABCD的周长L=AB+AC+AD+CD≤4$\sqrt{3}$+4=4（$\sqrt{3}+$1），
即四边形ABCD的周长的最大值是4（$\sqrt{3}+1$）．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，基本不等式的应用，以及方程思想，考查化简、变形能力，属于中档题．