Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n∈N^*，若a₁=16，则a₃+a₅=

 

，数列{a_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

分析：首先对函数求导得到y′=2x，得到函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线的斜率是2a_n，根据点斜式写出切线的方程，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等比数列，写出通项．

解答：解：∵对函数求导得到y′=2x
∴函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线的斜率是2a_n
∴在点（a_n，a_n²）处的切线方程为：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
∵切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，
当y=0时，解得x=

1

2

an，
∴a_n+1=

1

2

a_n，
∴数列是一个公比为

1

2

的等比数列，
首项是16，
∴数列{a_n}的通项公式为16×(

1

2

)n-1=16×2^1-n=2^5-n
故答案为：2^5-n

点评：本题考查数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等比数列．