Question

函数f(x)=x+2cosx(0＜x＜

π

2

)的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：依题意，f′（x）=1-2sinx，易求f（x）在（0，

π

6

）上单调递增，f（x）在（

π

6

，

π

2

）上单调递减，从而可求得答案．

解答： 解：∵f(x)=x+2cosx(0＜x＜

π

2

)，
∴f′（x）=1-2sinx，
令f′（x）＞0得：sinx＜

1

2

，
∴当0＜x＜

π

6

时，f′（x）＞0，f（x）在（0，

π

6

）上单调递增；
当

π

6

＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，f（x）在（

π

6

，

π

2

）上单调递减；
∴当x=

π

6

时，f（x）取得极大值，也是最大值，即f（x）m=

π

6

+

3

．
故答案为：

π

6

+

3

．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查导数的应用，属于中档题．