题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
分析：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．
（I）我们易求出
，
的坐标，要证明AP⊥BC，即证明
•
=0；
（II）要求满足条件使得二面角A-MC-β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．
（I）我们易求出
| AP |
| BC |
| AP |
| BC |
（II）要求满足条件使得二面角A-MC-β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．
解答：
解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）则
=（0，3，4），
=（-8，0，0）
由此可得
•
=0
∴
⊥
即AP⊥BC
（II）设
=λ
，λ≠1，则
=λ（0，-3，-4）
=
+
=
+λ
=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）
=（-4，5，0），
=（-8，0，0）
设平面BMC的法向量
=（a，b，c）
则
令b=1，则
=（0，1，
）
平面APC的法向量
=（x，y，z）
则
即
令x=5
则
=（5，4，-3）
由
•
=0
得4-3•
=0
解得λ=
故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3
解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）则
| AP |
| BC |
由此可得
| AP |
| BC |
∴
| AP |
| BC |
即AP⊥BC
（II）设
| PM |
| PA |
| PM |
| BM |
| BP |
| PM |
| BP |
| PA |
| AC |
| BC |
设平面BMC的法向量
| a |
则
|
|
令b=1，则
| a |
| 2+3λ |
| 4-4λ |
平面APC的法向量
| b |
则
|
即
|
令x=5
则
| b |
由
| a |
| b |
得4-3•
| 2+3λ |
| 4-4λ |
解得λ=
| 2 |
| 5 |
故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3
点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．
练习册系列答案
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