题目内容
【题目】已知
， 
.
（Ⅰ）求函数
图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）若
恒成立，求
的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明： 
存在唯一的极小值点
，且
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析
【解析】试题分析：
(Ⅰ)因为要使参数
对函数值不发生影响，所以必须保证
，据此可得函数的图象恒过点
.
(Ⅱ)原问题等价于
恒成立.构造函数
，分类讨论有：
①若
时， 
不能恒成立.
②若
时， 
在
时为极小值点， 
，满足题意时只需
.讨论可得要使函数
成立，只有在
时成立.
(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论有
，构造函数
，结合函数的性质可得
一定有2个零点，分别为
的一个极大值点和一个极小值点，则函数在区间
上存在一个极值点，所以最小极值点在
内.据此整理计算可得
.
试题解析：
（Ⅰ）因为要使参数
对函数值不发生影响，所以必须保证
，
此时
，所以函数的图象恒过点
.
（Ⅱ）依题意得： 
恒成立，∴
恒成立.
构造函数
，
则
恒过
， 
，
①若
时， 
，∴
在
上递增，
∴
不能恒成立.
②若
时， 
，∴
.
∵
时， 
，函数
单调递减；
时， 
，函数
单调递增，
∴
在
时为极小值点， 
，
∴要使
恒成立，只需
.
设
，则函数
恒过
，
，
， 
，函数
单调递增；
， 
，函数
单调递减，
∴
在
取得极大值0，
∴要使函数
成立，只有在
时成立.
（Ⅲ）
，设
，令
， 
∴
在
单调递减，在
单调递增， 
在
处取得极小值
可得
一定有2个零点，分别为
的一个极大值点和一个极小值点
设
为函数
的极小值点，则
，∴
， 
，
因为
，因为
，
所以在区间
上存在一个极值点，所以最小极值点在
内.
∵函数
的极小值点的横坐标
，
∴函数
的极小值
，∴
.
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