Question

设函数f（x）=

lnx

x2

．
（1）求f（x）的极大值；
（2）求证：12eln[n•（n-1）•（n-2）…2•1]≤（n²+n）（2n+1）（n∈N^*）；
（3）当方程f（x）-

a

2e

=0（a∈R⁺）有唯一解时，方程g（x）=txf′（x）+

ax2-2tx-t

x2

=0也有唯一解，求正实数t的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由出函数的导函数f′（x），分析在定义域各区间上导函数的符号，进而利用函数单调性，进而得到f（x）的极大值；
（2）由（1）可得f(x)≤

1

2e

，即2elnx≤x²，分别令x=1，2，3，…，n，可得：2eln1≤1²，2eln2≤2²，…，2elnn≤n²，结合对数的运算性质，累加可得结论；
（3）由（1）可得：方程f(x)-

a

2e

=0(a∈R+)有唯一解，即a=1，方程g(x)=txf′(x)+

ax2-2tx-t

x2

=0有唯一解，即：x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，构造函数G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0），由导数法可得：G（x）在（0，x₂）递减，（x₂，+∞）递增，又x₂是方程x²-tx-t=0的根，可得：1=x2=

t+ t2+4t

2

，解得满足条件的正实数t的值．

解答： 解：（1）f′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．
由f′（x）=0得x=

e

，
列表得：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

从而f（x）在(0，

e

)单调递增，在(

e

，+∞)单调递减．
∴f(x)极大=f(

e

)=

1

2e

．…（4分）
证明：（2）∵f(x)极大=f(

e

)=

1

2e

．
∴f(x)≤

1

2e

，
∴

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴lnx≤

1

2e

x2，
∴2elnx≤x²，
分别令x=1，2，3，…，n，
∴2eln1≤1²，2eln2≤2²，…，2elnn≤n²，
∴2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≤1²+2²+3²+…+n²，
∴2eln[n•(n-1)•(n-2)…2•1]≤

n(n+1)(2n+1)

6

，
∴12eln[n•（n-1）•（n-2）…2•1]≤（n²+n）（2n+1）（n∈N^*）…（9分）
（3）由（1）的结论：方程f(x)-

a

2e

=0(a∈R+)有唯一解，
∴a=1，
方程g(x)=txf′(x)+

ax2-2tx-t

x2

=0有唯一解，
即：x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，
设G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0），
∴G′(x)=

2

x

(x2-tx-t)，
由∴G'（x）=0，则x²-tx-t=0设x²-tx-t=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
∵t＞0，
∴x₁＜0＜x₂，
∴x1=

t- t2+4t

2

，x2=

t+ t2+4t

2

，
∴G（x）在（0，x₂）递减，（x₂，+∞）递增，
要使G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，则G（x₂）=0，
即：x22-2tlnx2-2tx2=0…①
又x22-tx2-t=0…②
由①②得：2tlnx₂+tx₂-t=0，
即：2lnx₂+x₂-1=0，
∴x₂=1，
又x₂是方程x²-tx-t=0的根，
∴1=x2=

t+ t2+4t

2

，
∴t=

1

2

…（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，数列求和，对数的运算性质，综合性强，运算量大，转化复杂，属于难题．