Question

在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；

Answer 1

（1），， 利用数学归纳法加以证明；（2）---（9分）
所以所以只需要证明
（显然成立）

解析试题分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：
显然当时，结论成立，-----------------（3分）
假设当；时（也可以），结论也成立，即
，--------------------------（4分）
那么当时，由题设与归纳假设可知：
   （6分）
即当时，结论也成立，综上，对,成立。 （7分）
（2）---（9分）
所以
------（11分）
所以只需要证明
（显然成立）
所以对任意的自然数，都有    （14分）
考点：本题考查了数学归纳法的运用
点评：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;
(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化