题目内容
14．在等差数列{an}中，a9=$\frac{1}{2}$a12+6，a2=4，设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和为（ ）| A． | $\frac{11}{12}$ | B． | $\frac{10}{11}$ | C． | $\frac{9}{10}$ | D． | $\frac{8}{9}$ |
分析 利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a9=$\frac{1}{2}$a12+6，a2=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+8d=\frac{1}{2}（{a}_{1}+11d）+6}\\{{a}_{1}+d=4}\end{array}\right.$，
解得a1=d=2．
∴Sn=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n2+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．
故选：B．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | 1 | D． | 0 |