Question

6．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=a-2x
（1）若a=4，判断函数y=f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明你得结论；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上单调递增，运用导数判断符号即可得到结论；
（2）讨论x=1时，显然成立；当x＞1时，可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，求得右边函数的最小值，运用基本不等式即可得到．

解答 解：（1）函数y=f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上单调递增，
理由：f（x）的导数为f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+2）}{{x}^{2}}$，
由x≥2，可得f′（x）≥0，即有y=f（x）在[2，+∞）上递增；
（2）不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，
当x=1时，f（1）=1+a，g（1）=a-2，f（1）＞g（1）显然成立；
当x＞1时，可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，
由$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$=3[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]≥3[2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2]=12，
当且仅当x=2时，取得最小值12，
即有a≤12．
则实数a的取值范围是（-∞，12]．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．