Question

定义域（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），当x∈（0，1）时，有f（x）＜0，若P=f（-

1

5

）+f（-

1

11

），Q=f（-

1

2

），R=f（0），则P，Q，R的大小关系是（　　）

• A、R＞Q＞P
• B、Q＞P＞R
• C、P＞R＞Q
• D、R＞P＞Q

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性结合抽象函数的性质即可得到结论．

解答： 解：令x=y=0，得f（0）=0．
又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
则P=f（-

1

5

）+f（-

1

11

）=f（-

1

5

）-f（

1

11

）=f（

- 1 5 - 1 11

1+ 1 5 × 1 11

）=f（-

2

7

），
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1）且设x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，则|x₁x₂|＜1，
∴1-x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∵当x∈（0，1）时，有f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在（-1，1）上为增函数，
∵-

1

2

＜-

2

7

＜0，
∴f（-

1

2

）＜f（-

2

7

）＜f（0），
即R＞P＞Q，
故选：D

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．