Question

16．（1）计算：${[（1+2i）•{i^{100}}+{（\frac{1-i}{1+i}）^5}]^2}-{（\frac{1+i}{{\sqrt{2}}}）^{20}}$
（2）已知z，w为复数，（1+3i）•z为纯虚数，$w=\frac{z}{2+i}$，且$|w|=5\sqrt{2}$，求复数z．

Answer 1

分析 （1）直接由复数代数形式的乘除运算化简计算得答案．
（2）设z=x+yi，（x，y∈R），由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x-3y=0}\\{3x+y≠0}\end{array}\right.$，由$|ω|=|\frac{z}{2+i}|=5\sqrt{2}$，得$|z|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=5\sqrt{10}$，联立可解x，y的值．

解答 解：（1）${[（1+2i）•{i^{100}}+{（\frac{1-i}{1+i}）^5}]^2}-{（\frac{1+i}{{\sqrt{2}}}）^{20}}$
=[（1+2i）•1+（-i）⁵]²-i¹⁰
=（1+i）²-i¹⁰=1+2i．
（2）设z=x+yi，（x，y∈R），
则（1+3i）•z=（x-3y）+（3x+y）i为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3y=0}\\{3x+y≠0}\end{array}\right.$，
∵$|ω|=|\frac{z}{2+i}|=5\sqrt{2}$，
∴$|z|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=5\sqrt{10}$．
又x=3y，解得x=15，y=5或x=-15，y=-5，
∴z=15+5i或z=-15-5i．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档题．