Question

请写出下列说法正确的番号

 

①从左到右读与从左到右读都一样的正整数被称为“回文数”，例如22，121等，则4位回文数有91个；
②已知2×1=2，2²×1×3=3×4，2³×1×3×5=4×5×6，…依此类推第n个等式是2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）=（n+1）（n+2）（n+3）…×2n
③当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）（n∈N^*），则S（n）=

4n

3

+

2

3

④已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第60个“整数对”是（6，6）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,阅读型,推理和证明

分析：①依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有

C

1 9

•

C

1 10

=90个；
②利用归纳法可得第n个等式，从而可知②之正误；
③利用累加法可求得S_n-S₁=

4(1-4n-1)

1-4

，继而可求得S_n=

4n

3

+

2

3

，从而可知③正确；
④可以利用坐标分析一下规律，从而可判断④的正误．

解答： 解：①依题意，排在千位的与排在个位的数相同，可以是1、2、…9中的任何一个，有

C

1 9

种方法，排在百位的与排在十位的数相同，可以是0、1、2、…9中的任何一个，有

C

1 10

种方法，
∴4位回文数共有

C

1 9

•

C

1 10

=90个，故①错误；
②∵2×1=2，
2²×1×3=3×4，
2³×1×3×5=4×5×6，…
依此类推第n个等式是2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）=（n+1）（n+2）（n+3）…×2n，正确；
③因为当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…，
所以S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ），
而S₂-S₁=N（3）+N（4）=4，
S₃-S₂=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16，
S₄-S₃=64，
…
S_n-S_n-1=N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2^n-1+2^n-1）=4^n-1，
以上各式相加得：S_n-S₁=

4(1-4n-1)

1-4

，而S₁=N（1）+N（2）=2，代入得到：S_n=

4n

3

+

2

3

，故③正确；
④可以利用坐标分析一下规律：
（1，1）一个点，
（1，2）（2，1）两个点，
（1，3）（2，2）（3，1）三个点，
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）四个点，
（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）五个点，
…
这样第60个数对，先估分析到了那一排，
∵1+2+3+4+…+10=55，
∴第60个数对在第11排第5个数，
第11排的数为：（1，11）（2，10）（3，9）（4，8）（5，7）…，
∴第60个“整数对”是（5，7），故④错误；
综上所述，正确的只有②③，
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查分析创新思维、逻辑思维及推理运算能力、属于难题．