Question

如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.

   （1）当时，求椭圆的方程；

   （2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．

Answer 1

解：（1）当时， ，则

设椭圆方程为，则又，所以

所以椭圆C₂方程为                                  …………

   （2）因为，，则，，

设椭圆方程为

由，得                  …………

即，得代入抛物线方程得，

即

,，

因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以         …………

此时抛物线方程为，，直线方程为：.

联立，得，即，

所以，代入抛物线方程得，即

∴.

设到直线PQ的距离为 ，

则             …………

当时，，

即面积的最大值为.        ……