Question

在等差数列{a_n}，等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．
（Ⅰ）求a_nb_n；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，cn=

anbn

Sn+1

(n∈N*)，R_n=c₁+c₂+…+c_n，求R_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，通过解方程组

1+d=q 1+3d=q2 q≠1

可求得q与d，从而可求得a_nb_n；
（Ⅱ）依题意，可求得S_n=

n(n+1)

2

；再利用裂项法可求得c_n=

1

n+2

•2ⁿ⁺¹-

1

n+1

•2ⁿ，从而累加即可求得R_n．

解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}，等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄，
∴

1+d=q 1+3d=q2 q≠1

，解得

q=2 d=1

，
∴a_n=n，b_n=2^n-1，
∴a_nb_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=n，
∴S_n=

n(n+1)

2

；
∴c_n=

anbn

Sn+1

=

n•2n

(n+1)(n+2)

=

n•2n+1

(2n+2)(n+2)

=（

1

n+2

-

1

2n+2

）•2ⁿ⁺¹=

1

n+2

•2ⁿ⁺¹-

1

n+1

•2ⁿ，
∴R_n=c₁+c₂+…+c_n
=（

1

3

•2²-

1

2

•2）+（

1

4

•2³-

1

3

•2²）+（

1

5

•2⁴-

1

4

•2³）+…+（

1

n+2

•2ⁿ⁺¹-

1

n+1

•2ⁿ）=

2n+1

n+2

-1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出裂项法的考查，属于中档题．