Question

设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于0，直接求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用韦达定理，结合x₁＜x₂，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

，利用c的范围，求出x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）利用二次函数图象的开口方向，结合f（m）＜0，利用x₂-x₁∈（0，1），通过放缩即可证明m+1＞x₂．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由x²+x+c=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）及c＞0得

△=12-4c＞0 c＞0

可知：0＜c＜

1

4

…（2分）
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：

x1+x2=-1 x1x2=c

…（4分）
又x₂-x₁＞0，所以，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

1-4c

，
∵0＜c＜

1

4

，∴1＞

1-4c

＞0
∴0＜x₂-x₁＜1…（8分）
∴故x₂-x₁∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x²+x+c的开口向上
∴x₁＜m＜x₂…（10分）
可知：m-x₁＞0
而m+1＞m+（x₂-x₁）=（m-x₁）+x₂＞x₂…（14分）

点评：本题是中档题，考查二次函数的根与系数的关系，注意韦达定理的应用，放缩法证明不等式的方法，考查计算能力．