Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，?n∈N^*，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和S_n；
（3）求证：?n∈N^*，a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜3．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$变形同时取倒数，整理可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论；
（3）通过（2）放缩、裂项可知${{a}_{n}}^{2}$＜2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（2）解：由（1）可知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；
（3）证明：由（2）可知，${{a}_{n}}^{2}$=$\frac{4}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{4}{n（n+2）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=3-2（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
＜3．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于中档题．