题目内容
16．已知O为坐标原点，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≤0}\\{3x+4y≤12}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，P（x，y）为该不等式组所表示的平面区域内任意一点，使z=x+2y取最大值的点为A点，则|OP|•|AO|•cos∠AOP的最大值等于（ ）| A． | $\frac{97}{16}$ | B． | $\frac{11}{2}$ | C． | $\frac{167}{28}$ | D． | $\frac{38}{7}$ |
分析 通过约束条件可知A（1，$\frac{9}{4}$）使z=x+2y取最大值，进而利用向量数量积的定义可得结论．
解答 
解：依题意，约束条件为△ABC，其中三个顶点坐标为（1，$\frac{9}{4}$）、（1，2）、（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵使z=x+2y取最大值的点为A点，
∴A（1，$\frac{9}{4}$），不妨记B（1，2）、C（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵|OP|•|AO|•cos∠AOP=|OP|•|OA|•cos∠AOP=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$，
∴当P与点A重合时$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$最大，
最大值为$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{9}{4}-0）^{2}}$=$\frac{97}{16}$，
故选：A．
点评 本题考查简单线性规划，考查平面向量数量积，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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6．函数y=x2-x-1的顶点坐标是 （ ）
| A． | （-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$） | B． | （$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$） | C． | （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$） | D． | （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$） |
