Question

如图，在平面直坐标系xOy中，已知椭圆，经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率．且椭圆C与直线有且只有一个交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不经过原点的直线l与椭圆C相交与A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆过点（1，e），可得，再由及a²=b²+c²即可求得b²，∵椭圆C与直线有且只有一个交点，联立方程组则有一解，从而消去y后△=0，解出a²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求P点坐标，从而可得直线OP方程，设不经过原点的直线l的方程y=kx+t（t≠0），由AB中点在直线OP上、中点坐标公式及韦达定理即可求得k值，由弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，构造函数利用导数即可求得△PAB的面积取得最大值时直线l的方程，注意t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点（1，e），∴，
又，
∴，∴b²=1，
∴椭圆的方程为，
又∵椭圆C与直线有且只有一个交点，
∴方程即有相等实根，
∴，解得a²=2，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为，故，
设不经过原点的直线l的方程y=kx+t（t≠0），交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
则，∴，
直线OP方程为，且OP平分线段AB，
∴=×，解得 ，
∴，
又∵点P到直线l的距离，
∴，
设，
由直线l与椭圆C相交于A，B两点可得，
求导可得，此时S_△PAB取得最大值，
此时直线l的方程．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求较高．