题目内容

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF、△CFP分别沿EF、PF折起到△A1EF和△C1FP的位置，使二面角A1-EF-B和C1-PF-B均成直二面角，连结A1B、A1P、EC1（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）设正△ABC的边长为3，以
EB
，
EF
，
EA
为正交基底，建立空间直角坐标系．
①求点C1的坐标；
②直线EC1与平面C1PF所成角的大小；
③求二面角B-A1P-F的余弦值．
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分析：（1）由已知易得∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．且此二面角为直二面角，进而由面面垂直的性质定理得到A1E⊥平面BEP；
（2）由题意知，A1（0，0，1），B（2，0，0），F（0，
3
，0），
①过P、C1分别作BE、PF的垂线，垂足为G、H．可得G为EB中点，H为EG中点，进而得到P，C1的坐标
②求出向量
EF
，
FC1
，进而根据
EF
•
FC1
=0，结合向量垂直的充要条件得到EF⊥FC1，再由EF⊥PF，可得
EF
是平面C1PF的一个法向量，
代入向量夹角公式，可得直线EC1与平面C1PF所成角
③求出平面A1BP的一个法向量和平面A1PF的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：证明：（1）在图1中，AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=2AE而∠A=60°，
∴EF⊥AE
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A1E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A1E⊥平面BEF，
即 A1E⊥平面BEP
解：（2）由题意知，A1（0，0，1），B（2，0，0），F（0，
3
，0），
过P、C1分别作BE、PF的垂线，垂足为G、H．
①可得G为EB中点，H为EG中点，
∴G（1，0，0），H（
1
2
，0，0）
而P，C1的纵坐标与F相同，C1的竖坐标为纵坐标的一半
从而可得P（1，
3
，0）．
C1（
1
2
，
3
，
3
2
）
②
EF
=（0，
3
，0），
FC1
=（
1
2
，0，
3
2
）
∴
EF
•
FC1
=0，即EF⊥FC1
而EF⊥PF，所以
EF
是平面C1PF的一个法向量，
又cos＜
EF
，
EC1
＞=
3
3
•2
=
3
2
∴＜
EF
，
EC1
＞=
π
6

故直线EC1与平面C1PF所成角为
π
3
．
③
A1B
=（2，0，-1），
BP
=（-1，
3
，0），设平面A1BP的一个法向量为
m
=（x1，y1，z1）
于是有
2x1-z1=0
-x1+
3
y1=0
，取x1=1，得
m
=（1，
3
3
，2）．
同理可求得平面A1PF的一个法向量
n
=（0，1，
3
）
cos＜
m
，
n
＞=
7
3
3
4
3
3
•2
=
7
8
，所求二面角与这个夹角互补，
所以二面角B-A1P-F的余弦值为-
7
8
．
点评：本题考查的知识点是有空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将空间线线垂直及二面角转化为向量垂直及向量夹角问题是解答的关键．
练习册系列答案
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．
精英家教网在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，满足
AE
EB
=
CF
FA
=
1
2
（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1C． （如图2）求证：A1E⊥平面BEC．
如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，J分别为AF，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GJ与DE所成角的度数为（　　）
如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将
△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（　　）
在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=2，则
AB
•
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．

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