Question

（本题满分12分）如图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线 有且只有一个交点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不经过原点的直线与椭圆相交与A，B两点，第一象限内的点在椭圆上，直线平分线段，求：当的面积取得最大值时直线的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵椭圆经过点，∴又，

∴，∴  

∴椭圆的方程为…………………………………………2分

又∵椭圆与直线 有且只有一个交点

∴方程即有相等实根

∴    ∴ 

∴椭圆的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为 故

设不经过原点的直线的方程交椭圆于

由得    ……………………………6分

∴  ………………7分       

直线方程为且平分线段 

∴=解得 ……………………………………………8分

∴

又∵点到直线的距离 

∴…………………………………………9分

设    

由直线与椭圆相交于A，B两点可得

求导可得，此时取得最大值

此时直线的方程……………………………………………12分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线方程，点到直线的距离。

点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。