Question

9．过抛物线y²=4x的焦点作倾斜角α的弦，若弦长不超过8，则α的取值范围是[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

Answer 1

分析 讨论直线是否有斜率，联立方程组，利用焦点弦公式和根与系数的关系得出不等式解出斜率的范围，即可得出倾斜角的范围．

解答 解：抛物线的准线方程为x=-1，焦点坐标为（1，0），
（1）若过焦点的直线无斜率，则直线方程为x=1，代入y²=4x得y=±2，
此时弦长为4，符合题意．
（2）若过焦点的直线有斜率，设直线方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设直线与抛物线交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵|AB|≤8，即4+$\frac{4}{{k}^{2}}$≤8，解得k≥1或k≤-1，
∴$\frac{π}{4}$$≤α＜\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}＜α≤\frac{3π}{4}$．
综上，$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{3π}{4}$．
故答案为：[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．