Question

【题目】已知椭圆：（）的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆的离心率可以求得，利用的最大值求出的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）联立直线方程与椭圆方程，为避免直线方程斜率是否存在的讨论，可设直线方程为，先求，两点间距离，再求点到直线的距离，即可求面积，因为面积由底和高两部分构成，所以分别求出两部分的最大值，即可求出面积的最大值.

（1）解法一：由题意可得离心率，

又，∴，，

令点为椭圆上任意一点，

则

，

∴，∴，，

∴椭圆的标准方程为.

解法二：由题意可得离心率，

又，∴，，

令椭圆上任意一点，

，

当时，，

，满足；

当时，，

解得（负值舍去），，

则，不满足条件，舍去，

综上，，，

椭圆的标准方程为；

（2）设点坐标为（），

直线的方程为，联立直线方程与椭圆方

程化简得，

令，两点的坐标分别为，，

由韦达定理可得，，

则，

化简得，

点到直线的距离，

的面积，

令，

则

，

当时，，

当且仅当，时等号成立，

此时，，

，

当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，

即，此时直线的方程为，点的坐标为，

综上，面积的最大值为.