题目内容
【题目】已知函数,(其中e为自然对数的底数),若关于x的方程
恰有5个相异的实根,则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
作出图象,求出方程的根,分类讨论
的正负,数形结合即可.
当时,令
,解得
,
所以当时,
,则
单调递增,当
时,
,则
单调递减,
当时,
单调递减,且
,
作出函数的图象如图:
(1)当时,方程整理得
,只有2个根,不满足条件;
(2)若,则当
时,方程整理得
,
则,
,此时各有1解,
故当时,方程整理得
,
有1解同时
有2解,即需
,
,因为
(2)
,故此时满足题意;
或有2解同时
有1解,则需
,由(1)可知不成立;
或有3解同时
有0解,根据图象不存在此种情况,
或有0解同时
有3解,则
,解得
,
故,
(3)若,显然当
时,
和
均无解,
当时,
和
无解,不符合题意.
综上:的范围是
,
故答案为:,
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