题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数) .
(1)若在
处的取得极值为1,求
及
的值;
(2)时,讨论函数
的极值;
(3)当时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
【答案】(1),
;(2)当
时,函数
无极值;当
,函数
有极小值
, 无极大值;(3)1.
【解析】
(1)根据,
可求
及
的值;
(2)求出,对
进行分类讨论,求函数
的极值;
(3)令,直线
与曲线
没有公共点,等价于方程
在
上没有实数解.由零点存在定理可得
的取值范围,从而求得
的最大值.
(1)由,得
.
由题意得,
,即
,
解得,
.经检验,符合题意.
,
.
(2),
①当时,
,
为
上的增函数,所以函数
无极值.
②当时,令
,得
,
.
所以在
上单调递减, 在
上单调递增,
故在
处取得极小值, 且极小值为
,无极大值.
综上,当时,函数
无极值;
当,函数
有极小值
, 无极大值.
(3)当时,
.
令,
则直线与曲线
没有公共点,
等价于方程在
上没有实数解.
当时,
,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知
在
上至少有一解,与“方程
在
上没有实数解”矛盾,故
.
又时,
,此时方程
在
上没有实数解.,
所以,的最大值为1.
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