题目内容
【题目】设函数.
(1)当(
为自然对数的底数)时,求
的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)2;(2)当时,函数
无零点;当
或
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
有两个零点;(3)
.
【解析】
试题(1)当m=e时,>0,由此利用导数性质能求出f(x)的极小值;(2)由
,得
,令
,x>0,m∈R,则h(1)=
,
h′(x)=1-x2=(1+x)(1-x),由此利用导数性质能求出函数g(x)=f′(x)-零点的个数;(3)(理)当b>a>0时,f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范围
试题解析:(1)由题设,当时,
易得函数的定义域为
当
时,
,此时
在
上单调递减;
当时,
,此时
在
上单调递增;
当
时,
取得极小值
的极小值为2
(2)函数
令,得
设
当时,
,此时
在
上单调递增;
当时,
,此时
在
上单调递减;
所以是
的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是
的最大值点,
的最大值为
又,结合y=
的图像(如图),可知
①当时,函数
无零点;
②当时,函数
有且仅有一个零点;
③当时,函数
有两个零点;
④时,函数
有且只有一个零点;
综上所述,当时,函数
无零点;当
或
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
有两个零点.
(3)对任意恒成立,等价于
恒成立
设,
在
上单调递减
在
恒成立
恒成立
(对
,
仅在
时成立),
的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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