Question

已知数列和满足：, 其中为实数，为正整数．
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；
（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在实数，的取值范围是

(1)假设存在一个实数，使是等比数列，由题意知，矛盾，所以不是等比数列.
(2)由题设条件知，故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
(3)由题设条件得，由此入手能够推出存在实数，使得任意正整数n,都有 ,的取值范围为.
解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，
则有,
即矛盾．
所以｛｝不是等比数列．   ………………………4分
（Ⅱ）因为
又，所以
当，，此时
当时，，，
此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．
∴  ……………………8分
（Ⅲ）要使对任意正整数成立，
即

当为正奇数时，
∴的最大值为, 的最小值为,
于是，由（1）式得
当时，由，不存在实数满足题目要求；
当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是…………………………12分