Question

等比数列{a_n}中，a₁＞1，前n项和为S_n，若

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，那么a₁的取值范围

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，依题意，|q|＜1且q≠0，依题意，可求得

a1

1-q

=

1

a1

，利用其公比|q|＜1且q≠0及已知a₁＞1，即可求得a₁的取值范围．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，依题意，|q|＜1且q≠0，
因为其前n项和S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
所以，

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，又

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，
所以，

a1

1-q

=

1

a1

，
所以，q=1-a12，由|q|=|1-a12|＜1得：0＜a12＜2，且a₁≠±1，又a₁＞1，
那么a₁的取值范围为（1，

2

）．
故答案为：（1，

2

）．

点评：本题考查无穷递缩等比数列的极限，利用其公比|q|＜1且q≠0作为解题的突破口是关键，考查等比数列的求和公式解不等式的能力，考查转化思想．