Question

抛物线C：x²=4y，直线AB过抛物线C的焦点F，交x轴于点P．
（Ⅰ）求证：PF²=PA•PB；
（Ⅱ）过P作抛物线C的切线，切点为D（异于原点），
（1）k_DA•k_DF•k_DB是否恒成等差数列，请说明理由；
（2）△ABD重心的轨迹是什么图形，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由于F点的坐标已知，设出AB方程，求出P点坐标，联立直线与抛物线方程，得到一个关于x的一元二次方程，利用韦达定理能证明PF²=PA•PB．
（Ⅱ）（i）根据题意分别求出k_DA，k_DF，k_DB，结合韦达定理验证2k_DF=k_DA+k_DB是否成立．
（i）由三角形重心坐标公式，结合韦达定理消去参数k，即得到重心的轨迹．

解答： （Ⅰ）证明：∵抛物线C：x²=4y的焦点F（0，1），
∴设直线AB为：y=kx+1，
联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
设P（x₀，0），A（x₁，y₁），F（0，1），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=k²x₁x₁=+k（x₁+x₂）+1
=-4k²+4k²+1=1．
∵

PF

=(-x0，1)，

PA

=(x1-x0，y1)，

PB

=(x2-x0，y2)，
又x0=-

1

k

，

PF

2=

1

k2

+1，

PA

•

PB

=（x₁+

1

k

）（x₂+

1

k

）+y₁y₂
=x₁x₂+

1

k

(x1+x2)+

1

k2

+1
=

1

k2

+1．
∴

PF

2=

PA

•

PB

．
∴PF²=PA•PB．
（Ⅱ）（i）设D（x，

x

4

），y=

x2

4

的导数为y′=

x

2

，
∴

x2 4

x+ 1 k

=

x

2

，解得x=-

2

k

，∴D（-

2

k

，

1

k2

），
2kDF=2(

k

2

-

1

2k

)=k-

1

k

，
k_DA+k_DB=

kx1+1- 1 k2

x1+ 2 k

=

kx2+1- 1 k2

x2+ 2 k

=

2k5x1x2+(3k4-k2)(x1+x2)+4k(k2-1)

k2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4]

=

4k(k4-1)

4k2(k2+1)

=k-

1

k

．
∴2k_DF=k_DA+k_DB，
∴k_DA•k_DF•k_DB恒成等差数列．
（ii）∵△ABD重心坐标（x，y），由题意得（-

2

k

+x1+x2，

1

k2

+y1+y2），
即（-

2

k

+4k，

1

k2

+4k2+2），
由

x=- 2 k +4k y= 1 k2 +4k2+2

，消去k，得x2=

4

3

(y-2)，
∴△ABD重心的轨迹是抛物线x2=

4

3

(y-2)．

点评：本题考查PF²=PA•PB的证明，考查等差数列的判断，考查三角形重心的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意意三角形重心坐标公式的合理运用．