题目内容
已知复数|z|=2,求复数1+
+z的模的最大值、最小值.
思路解析:(1)可以由复数的几何意义采用数形结合的方法来解,(2)通过不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,其中第一个等号成立的条件是复数z1、z2对应的向量
反向共线,第二个等号成立的条件是复数z1、z2对应的向量同向共线.
解法一:由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上.
设ω=1+
+z,z=ω-1-
,
∴|z|=|ω-(1+
)|=2.
∴复数ω对应的点在复平面内以(1,
)为圆心,半径为2的圆上.
此时圆上的点A,对应的复数ωA的模有最大值,圆上的点B,对应的复数ωB的模有最小值.如图,
故|1+
+z|max=4,|1+
+z|min=0.
解法二:利用公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
∵|z|=2,
∴||z|-|1+
||≤|z+1+
|≤|z|+|1+
|,
0≤|z+1+
|≤2+2.
∴|1+
+z|max=4,|1+
+z|min=0.
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