Question

给出下列命题：
①已知集合M满足∅?M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有6个；
②已知函数f（x）=

3 3x-1

ax2+ax-3

的定义域是R，则实数a的取值范围是（-12，0）；
③函数f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，2）；
④已知函数f（x）=x²+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3-t），则f（1）＞f（4）＞f（3）．
其中正确的命题序号是

 

（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，依题意，可例举出样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，可判断①；
②，通过对a=0与a≠0的讨论，可求得实数a的取值范围是（-12，0]，可判断②；
③，利用对数型函数f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1）可判断③；
④，利用二次函数的对称性与单调性可判断④．

解答： 解：对于①，∵集合M满足∅?M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，故①正确；
对于②，∵函数f（x）=

3 3x-1

ax2+ax-3

的定义域是R，
∴当a=0时，f（x）=

3 3x-1

-3

，其定义域是R，符合题意；
当a≠0时，

a＞0 △=a2+12a＜0

或

a＜0 △=a2+12a＜0

，解得a∈（-12，0）；
综上所述，实数a的取值范围是（-12，0]，故②错误；
对于③，函数f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1），故③错误；
对于④，∵函数f（x）=x²+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3-t），
∴函数f（x）=x²+bx+c的对称轴为x=3，f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（1）=f（5）＞f（4）＞f（3），故④正确．
故答案为；①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数与二次函数的对称性、单调性、恒过定点等性质，考查恒成立问题与集合间的关系，考查转化思想．