Question

已知直线l₁：x-2y-1=0，直线l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直线l₁∥l₂的概率；
（2）求直线l₁与l₂的交点位于第一象限的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：概率与统计

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线直线l₁∥l₂根据两条直线没有交点，得到两条直线的斜率之间的关系，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．

解答： 解：（1）由题知，直线l₁的斜率为k₁=

1

2

，直线l₂的概率为k₂=

a

b

．
若l₁∥l₂，即k₁=k₂，则有b=2a．
记事件A为“直线l₁∩l₂=∅”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数36种．满足条件的实数对（a，b）有3种情形．
所以P（A）=

3

36

=

1

12

．即直线l₁∥l₂的概率为

1

12

．…6分
（2）设事件B为“直线l₁与l₂的交点位于第一象限”，由于直线l₁与l₂有交点，所以b≠2a．
联立方程

ax-by+1=0 x-2y-1=0

，解得

x= b+2 b-2a y= a+1 b-2a

，
因为直线l₁与l₂的交点位于第一象限，所以

x＞0 y＞0

，即

b+2 b-2a ＞0 a+1 b-2a ＞0

，解得b＞2a．
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴基本事件总数共有36种．满足b＞2a的有6种，
∴P=

6

36

=

1

6

，即直线l₁与l₂交点在第一象限的概率为

1

6

．…6分．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的平行关系，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．