题目内容

已知a≥ $数学公式$ ，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤ $数学公式$ ；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求实数c的取值范围．

解：（1）f（x）=-a²（x- $\text{[math]}$ ）²+c+ $\text{[math]}$ ，
∵a≥ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∈（0，1]，
∴x∈（0，1]时，[f（x）]_max=c+ $\text{[math]}$ ，-----------------------（2分）
∵f（x）≤1，则[f（x）]_max=c+ $\text{[math]}$ ≤1，即c≤ $\text{[math]}$ ，
∴对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立时，可得c≤ $\text{[math]}$ ．--------------------------（5分）
（2）∵a≥ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＞0
又抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，
$\text{[math]}$
所求实数c的取值范围为 $\text{[math]}$ ．---------------------（12分）
分析：（1）将原二次函数配方得f（x）=-a²（x- $\text{[math]}$ ）²+c+ $\text{[math]}$ ，利用二次函数在闭区间上的最值求出它在（0，1]最大值，再由题意得[f（x）]_max=c+ $\text{[math]}$ ≤1，从而证得：c≤ $\text{[math]}$ ．
（2）根据抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，得出关于a，c的不等关系，解之即可得出实数c的取值范围．
点评：本小题主要考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．