Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=4，S₄=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2ⁿ⁺¹，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）b_n=a_n•2ⁿ⁺¹=

7n+5

3

•2ⁿ⁺¹．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=4，S₄=30．
∴4×4+

4×3

2

d=30，
解得d=

7

3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=4+

7

3

(n-1)=

7n+5

3

．
∴a_n=

7n+5

3

．
（2）b_n=a_n•2ⁿ⁺¹=

7n+5

3

•2ⁿ⁺¹．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

2

3

[12×2+19×22+…+(7n+5)×2n]，
2Tn=

2

3

[12×22+19×23+…+（7n-2）×2ⁿ+（7n+5）×2ⁿ⁺¹]
∴-T_n=

2

3

[12×2+7×22+7×23+…+7×2ⁿ-（7n+5）×2ⁿ⁺¹]
=

2

3

[10+7×2×

2n-1

2-1

-(7n+5)×2n+1]
=

2

3

[(2-7n)×2n+1-4]，
∴T_n=

2

3

[(7n-2)×2n+1+4]．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．