Question

已知f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2012|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2012|（x∈R），且f（a²-3a+2）=f（a-1），则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数的奇偶性，结合条件即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+2012|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2012|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2012|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2012|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|=f（x），
f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
则a²-3a+2=a-1，或a²-3a+2=-（a-1）
即a²-4a+3=0，或a²-2a+1=0，
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求
∴a的取值范围是{1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的合理运用．