Question

【题目】如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点为线段中点

【解析】

（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；
（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．

解：（1）因为平面平面，

平面平面，

，平面，所以平面，

又平面，所以，

在△中，，，，

由余弦定理得，，

所以，所以.

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，

，，，，，

设，则.

设平面的一个法向量为，

则，即，取，得.

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，得，

因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，

所以，

整理得，

解得或（舍去），

所以点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.