Question

16．已知在数列{a_n}中a₂=2，a₅=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求该数列的前6项和S₆；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由于{a_n}是等差数列，可得S₆=$\frac{6（{a}_{1}+{a}_{6}）}{2}$=3（a₂+a₅）．
（Ⅱ）由{a_n}是等比数列，设它的公比为q，可得q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{8}$，解得q．可得a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列，
∴S₆=$\frac{6（{a}_{1}+{a}_{6}）}{2}$=3（a₂+a₅）=3×$（2-\frac{1}{4}）$=$\frac{21}{4}$．
（Ⅱ）∵{a_n}是等比数列，设它的公比为q，则
q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{8}$，解得q=-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-2}$=-$（-\frac{1}{2}）^{n-3}$，
∴|a_n|=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$，
∴数列{|a_n|}是以4为首项，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴T_n=$\frac{4[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=8-2^3-n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．