Question

（2012•许昌县一模）已知函数f（x）=

x2-5x+10

x-3

，g（x）=x³-2a²x+a³-4
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若存在实数a使得对于任意给定x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使f（x₂）=g（x₁），求t的最大值．

Answer 1

分析：（I）函数的定义域为（-∞，3）∪（3，+∞），求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；令f′（x）＜0，x≠3，可得f（x）的单调递减区间；
（II）确定x∈[0，2]时，函数f（x的值域，若命题成立，等价于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集，对g（x）=x³-2a²x+a³-4，求导函数，再进行分类讨论．①当a=0时，g（x）在R上是增函数，从而0≤x≤t时，-4≤g（x）≤t²-4，故只需t²-4≤-3；②a≠0，要使命题成立，只需-4≤g（0）≤-3，从而g′（x）=3（x+

2 3

a）（x-

2 3

a），确定函数的单调性，从而可得函数g（x）的最小值，从而可求t的取值的最大值．

解答：解：（I）函数的定义域为（-∞，3）∪（3，+∞）
求导函数可得f′（x）=

(2x-5)(x-3)-(x2-5x+10)

(x-3)2

=

(x-1)(x-5)

(x-3)2

令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞5；令f′（x）＜0，x≠3可得1＜x＜3或3＜x＜5
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（5，+∞）；f（x）的单调递减区间为（1，3），（3，5）；
（II）当x∈[0，2]时，f(x)=(x-3)+

4

x-3

+1在[0，1]上单调增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）∈[-4，-3]
若命题成立，等价于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集
∵g（x）=x³-2a²x+a³-4
∴g′（x）=3x²-2a²=3（x+

2 3 a2

）（x-

2 3 a2

）
①当a=0时，g′（x）=3x²＞0，∴g（x）在R上是增函数
∴0≤x≤t时，-4≤g（x）≤t²-4
∴只需t²-4≤-3，∴-1≤t≤1
②a≠0，∵g（0）=a³-4
要使命题成立，只需-4≤g（0）≤-3，∴-4≤a³-4≤-3
∴0≤a≤1
∴g′（x）=3（x+

2 3

a）（x-

2 3

a）
∴函数g（x）在（-∞，-

2 3

a）上单调增，在（-

2 3

a，

2 3

a）上单调减，在（

2 3

a，+∞）上单调增
当t＞

2 3

a时，g（x）在x=

2 3

a处取得最小值，∴g(x)≥g(

2 3

a)=(1-

4

9

6

)a3-4＜-4舍去；
当t≤

2 3

a时，g（x）在x=t处取得最小值g（t），g（t）=t³-2a²t+a³-4，只需g（t）≥-4
∴t³-2a²t+a³-4≥-4
∴（t-a）（t+

5 +1

2

a）（t-

5 -1

2

a）≥0
从而t的取值的最大值为

5 -1

2

综上所述，t的最大值是1．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，正确运用导数，合理分类是关键．