Question

（2012•许昌县一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²=3c²，则cosC最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：利用余弦定理可得a²+b²=c²+2abcosC，与已知条件a²+b²=3c²联立，再利用基本不等式即可求得cosC最小值．

解答：解：在△ABC中，由余弦定理得：a²+b²=c²+2abcosC，①
又a²+b²=3c²，
∴c²=

1

3

（a²+b²）代入①式有：
a²+b²=

1

3

（a²+b²）+2abcosC，
∴cosC=

2 3 (a2+b2)

2ab

≥

2 3 ×2ab

2ab

=

2

3

（当且仅当a=b时取“=”）．
∴cosC最小值为

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题．