题目内容
设a＞0，f(x)=
+
是R上的函数，且满足f（-x）=f（x），x∈R．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）取x=1，则f（-1）=f（1），化简即可解出．
（2）利用单调递增函数的定义即可证明．
（2）利用单调递增函数的定义即可证明．
解答：
（1）解：取x=1，则f（-1）=f（1），即
+
=
+
，
∴
+ae=
+
，
∴(a-
)．e+(
-a)•
=0，
∴(a-
)(e-
)=0．
∵e-
≠0，∴a-
=0．
∴a2=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）证明：由（1）知f(x)=ex+
．
设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(ex1+
)-(ex2+
)
=(ex1-ex2)+
=(ex1-ex2)(1-
)
=(ex1-ex2)•
＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| e-1 |
| a |
| a |
| e-1 |
| e |
| a |
| a |
| e |
∴
| 1 |
| ae |
| e |
| a |
| a |
| e |
∴(a-
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
∴(a-
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
∵e-
| 1 |
| e |
| 1 |
| a |
∴a2=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）证明：由（1）知f(x)=ex+
| 1 |
| ex |
设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(ex1+
| 1 |
| ex1 |
| 1 |
| ex2 |
=(ex1-ex2)+
| ex2-ex1 |
| ex1•ex2 |
=(ex1-ex2)(1-
| 1 |
| ex1ex2 |
=(ex1-ex2)•
| ex1+x2-1 |
| ex1+x2 |
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了函数奇偶性与单调性，属于基础题．
练习册系列答案
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| π |
| 2 |
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| C、（-∞，2） |
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