Question

10．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且a=2csinA，c＜a．
（1）求角C的度数；
（2）若a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知的等式，由sinA不等于0，两边除以sinA，得到sinC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数．
（2）由已知利用三角形面积个数可求b，进而可求a，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）∵由a=2csinA，
∴根据正弦定理得：sinA=2sinCsinA，
又∵sinA≠0，得到sinC=$\frac{1}{2}$，又C∈（0，π），
∴则角C的大小为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
又∵c＜a，可得C为锐角，
∴C=$\frac{π}{6}$
（2）∵C=$\frac{π}{6}$，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b×b×$\frac{1}{2}$，解得：b=$\sqrt{3}$，a=2，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{4+3-2×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．